9-4 Postulat kesamaan sudut, sudut, sudut
Pada olahraga bowling, pemain bowling menggunakan penglihatan untuk mengarahkan bola. Seandainya seorang pemain bowling mengarahkan dan melenceng sejauh 2 cm. maka berapa banyak bola yang akan menjatuhkan pin?
Pertanyaan ini dapat dijawab dengan menerapkan teorema yang dipelajari pada materi ini.
Pada segitiga ABC dan segitiga DEF, ∠ A ≅∠ D, ∠ B ≅∠ E, ∠ C ≅∠ F.
Amati bahwa AB/DE = BC/EF= CA/FD.
Ini menunjukkan bahwa kapanpun ketiga sudut dari suatu segitiga adalah kongruen dengan ketiga sudut dari segitiga yang lain, maka perbandingan dari sisi- sisi yang bersesuaian juga sama. Kita menerima hal ini sebagai suatu postulat.
Postulat kesamaan sudut, sudut, sudut
Jika tiga sudut dari suatu segitiga adalah kongruen dengan tiga sudut dari segitiga yang lain, maka segitiga- segitiga itu adalah sebangun.
Teorema berikut menggambarkan suatu metode sederhana untuk membuktikan 2 segitiga sebangun.
Teorema 9-8.
Teorema Kemiripan Sudut Sudut.
Jika dua sudut dari suatu segitiga adalah kongruen dengan dua sudut dari segitiga yang lain, maka segitiga- segitiga tersebut asalah sebangun.
Pembuktian :
Diketahui : Segitiga ABC dan segitiga DEF (gbr hal 317) dengan ∠ A ≅ ∠ D, ∠ B ≅ ∠ E
Buktikan : Segitiga ABC sebangun dengan segitiga DEF.
Pernyataan:
1. ∠ A ≅ ∠ D ( diketahui )
2. ∠ B ≅ ∠ E ( diketahui )
3. ∠ C ≅ ∠ F ( postulat jumlah besar sudut dalam segitiga )
4. Segitiga ABC ∼ segitiga DEF ( kesamaan sudut sudut sudut ).
APLIKASI
Ketika pemain bowling salah menandai sejauh 2 cm, bola kehilangan pin berapa banyak? Perhatikan segitiga ABC dan segitaga APD.
Segitiga segitiga tersebut dibangun menjadi segitiga siku-siku, dan mereka mempunyai sebuah titik persekutuan di A. Oleh karena itu, dengan teorema 9-8 kita dapat menyimpulkan bahwa segitiga ABC ∼ segitiga APD.
AB/AP = BC/PD atau 4 m/19 m = 2 cm / x cm
Atau x = 38 / 4 cm = 9,5 cm. (gbr hal 317 bwh)
Dengan menggunakan teorema kesamaan sudut-sudut untuk hal segitiga siku-siku tersebut memberikan adanya teorema berikut.
Teorema 9-9
Dua segitiga siku-siku adalah sebagun jika sebuah sudut lancip dari salah satu segitiga kongruen dengan sebuah sudut lancip dari segitiga yang lain.
9-5 Segitiga siku-siku dan segitiga sebangun
Sebuah contoh yang menarik dari segitiga siku-siku di alam adalh cangkang nautilusm Gambar (buku hal.322)menunjukkan cangkang yang telah dipotong melintang yang memperlihatkan konstruksinya yang berbentuk spiral. Bentuk spital tersebut dapat dibuat rias garis siku-siku yang berkesinambungan seperti pada gambar. Bentuk spiral tersebut berhubungan dengan teoreme pada pelajaran berikut ini.
Kita memulainya dengan sebuah contoh dan definisi.
8 adalah rata-rata geometri antara 4 dan 16
4/8 = 8/16
DEFINISI 9-3
Sebuah angka x adalah rata-rata geometri antara angka a dan b jika, a/x = x/b, x≠0, b≠0
Rata-rata geometri digunakan dalam teorema berikutnya. Perhatikan segitiga siku-siku berikut.
Perhatikan bahwa AD/CD = CD/DB dan XW/WZ = WZ/WY
Teorema 9-10
Dalam segitiga siku-siku ,panjang garis tinggi sampai sisi miringnya adalah rata-rata geometri
antara panjang 2 ruas garis dari sisi miringnya.
bukti :
Di ketahui segitiga ABC dengan sudut siku-siku sudut C dan ruas garis CD adalah garis tinggi.
Buktikan : AD/DC = DC/DB (gbr hal 322 bawah)
1.∠ ADC siku-siku (ruas garis CD garis tinggi)
2.∠ BDC siku-siku (pelurus dari sudut siku-siku adalah siku-siku)
3.∠ C siku-siku (diketahui)
4.∠ BDC komplemen ∠ ACD (∠ BCA siku-siku)
5.∠ CAD kimplemen ∠ ACD ( m(∠CAD)+m(∠ACD)=90 )
6.∠ BCD ≅ ∠ CAD ( m(∠BCD) = m(∠ CAD) = 90 - m(∠ ACD)
7. Segitiga ADC ∼ segitiga CDB (dua segitiga siku-siku adalah sebangun jika sebuah sudut lancip dari salah satu segitiga tersebut kongruen dengan sudut lancip dari segitiga siku-siku yang lain)
8. AD/DC = DC/DB (perbandingan tiap bagian dari segitiga sebangun adalah sama).
APLIKASI
Kerangka dari cangkang nautilusadakah berdasarkan rata-rata geomatri.Perhatikan jaru-jari yang berderet :ruas garis OA,OB,OC,OD OE,OF,OG,OH,OI,OJ,OK,OL. Panjang tiap ruas garis tersebut adakah rata-rata geometri antara panjang ruas garis sebelimnya dengan ruas garis sesudahnya. Setiap 3 titik yang berurutan, misal G, H, I adakah titik puncak segituga siku-siku. Sehingga ruas garis OH adalah garis tinggi segitiga GHI.. Oleh karena itu, sesuai teorema 9-10 OH adalah rata-rata geometri antara OG dan OI.
Segitiga tersebut menggambarkan teorema 9-11
Teorema 9-11
Diketahui segitiga siku-siku dan garis tinggi dengan sisi miring, setiap sisi siku-sikunya adalah rata-rata geometri antara panjang sisi miring (segitiga siku-siku yang terbentuk dari segitiga siku-siku yang terbagi oleh garis tinggi) dan panjang ruas garis dari sisi miring yang terdekat dengan sisi siku-sikunya.
9-6 Teorema kesamaan sisi sisi sisi dan sisi sudut sisi
Sebuah pancuran air ditempatkan 32 kaki dari salah satu pojok gedung dan 27 kaki dari pojok yang lain. Lebar gedung 40 kaki.
Pengerjaan proyek ini menggunakan skala 5mm untuk 1 kaki-nya. Setelah pojok A' dan B' dari gedung ini dilokasikan pada gambar, titik F' digambarkan 160 mm dari A' (5 x 32) dan 135 mm dari B' (5 x 27). Apakah segitiga ABF sebangun dengan segitiga A'B'C' ? (gambar hal 326 atas)
Dalam contoh berikut segitiga XYZ dan segitiga X'Y'Z' digambar sedemikian hingga
XY /X'Y' = YZ/ Y'Z' = XZ / X'Z'
(gambar 326 bawah)
Ketika sisi- sisi dari segitiga digambarkan dengan perbandingan maka,
m∠X = m∠X'= 30, m∠Y = m∠Y' = 46, dan m∠Z= m∠z' =104.
Contoh tersebut menyebabkan adanya teoreme yang disebut teorema kesamaan sisi sisi sisi.
Teorema 9-12
Teorema kesamaan sisi sisi sisi. Jika 3 sisi dari sebuah segitiga sebanding dengan 3 sisi dari segitiga yang lain maka segitiga-segitiga tersebut adalah sebangun.
Teorema 9-12 mengatakan
Jika TJ/PO = JC/OD = TC/PD, maka Δ TJC ∼ Δ POD(gbr hal 327)
APLIKASI(gbr hal 327 tengah)
Dalam contoh pada permulaan ada sebuah segitiga dengan panjang sisi-sisinya 27 kaki, 32 kaki dan 40 kaki, dan sebuah ambar skala dengan panjang sisi-sisinya 135 mm, 160 mm, dan 200 mm. Apakah segitiga-segitiga tersebut sebangun?
Dengan demikian :
400/200 = 32/160 = 27/135 = 1/5
Jawaban pertanyaan Teorema 9 – 12 adalah ya, Δ ABF ~ Δ A' B' F'
Ada cara lain untuk menunjukkan 2 segitiga adalah sama.
Δ DEF dan ΔGHI telah disusun sehingga : DE/GH = EF/HI dan ∠E ≅∠H
(gbr hal 327 bawah)
Kondisi tersebut dapat diartikan bahwa ∠F ≅∠I dan ∠D ≅ ∠G. Contoh tersebut menunjukkan teorema berikut yang disebut teorema kesamaan sisi sudut sisi.
Teorema 9 – 13 (Teorema kesamaan sisi sudut sisi)
Jika dua segitiga mempunyai sebuah sudut dari salah satu segitiga yang kongruen dengan sebuah sudut dari segitiga yang lain dan jika sisi-sisi yang bersesuaian mengapit sudut sebanding, maka segitiga – segitiga tersebut sebangun.
